Цитаты про геометрию великих людей

Иоганн Кеплер фото

„Где материя, там геометрия.“

—  Иоганн Кеплер немецкий математик, астроном, оптик и астролог 1571–1630

«Улучшение основ астрологии» (1602)
…ubi materia, ibi Geometria.
Источник: [Thesis XX, Ioanne Keplero, De Fvndamentis Astrologiae certioribvs, 1602, Pragae, https://archive.org/details/den-kbd-pil-20002065-001/page/n14]
Источник: [Joannis Kepleri astronomi Opera Omnia. Edidit Ch. Frisch. Volumen Primum, 1858, Francofurti A. M. et Erlangae, https://books.google.com/books?id=qXsEAAAAYAAJ&pg=PA423, 423]

Цитаты со словом «геометрия»

Надо признаться, что попытка трактовать естественные проблемы без геометрии есть попытка сделать невозможное.

Драматическое искусство — это геометрия, переходящая в музыку.

Где материя, там геометрия.

В.И.Арнольд говорит, что математика — это часть физики. А я дополняю: физика — часть геометрии!

Что мы с вами скажем на это?.. Не должны ли мы признать, что геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать? Не прав ли был Платон, требуя от своих учеников прежде всего основательного знакомства с математикой?

Геометрия — неотъемлемая часть мировой сокровищницы человеческой мысли. Некоторые теоремы геометрии старше, чем Библия. Если человек не слышал о Моне Лизе или не знает, где находится Парфенон, может ли он считаться культурным человеком? А если он не знает теоремы Пифагора или проблемы квадратуры круга?

История человечества пишется в трех книгах. Это История Вражды, история войн, революций, мятежей и бунтов. Из них большею частью складывается История Государства. Это История Любви. Ее пишет Искусство. И это История Мысли человеческой. История Геометрии не только отражает историю развития человеческой мысли. Геометрия издавна является одним из самых мощных моторов, двигающих эту мысль.

«Никто не требует от вас выводить на экзамене всю аналитическую геометрию. Это было сделано до вас многими умными людьми. Некоторые вещи надо просто знать». (На сдаче, получив от студента неточный ответ.)

…Современный переворот научной мысли следует, как естественный результат великих революций прежних эпох в истории науки. Специальная теория относительности Эйнштейна, которая разъясняет неопределенность сети пространства и времени, венчает дело Коперника, впервые заставившего нас отказаться от нашей привязанности к геоцентрическому взгляду на природу; общая теория относительности Эйнштейна, которая вскрывает кривизну или не-Евклидову геометрию пространства и времени, развивает дальше зачаточные мысли некоторых астрономов прежних времен, впервые усмотревших возможность того, что их существование покоится на чем-то не плоском. Эти прежние революции являются еще и теперь для нас в детстве источником недоумений, которые мы скоро переростаем; и наступит время, когда изумительные открытия Эйнштейна подобным же образом станут общим местом для образованного человека.

Похожие цитаты:

Физику наших дней не обязательно знать физику, ему достаточно знать математику.

Использование программы для доказательства теоремы о четырех красках не изменит математики. Оно просто покажет, что задача, которая оставалась нерешенной в течении столетия, возможно, не так уж важна для математики.

Даже в математике она нужна, даже открытие дифференциального и интегрального исчислений невозможно было бы без фантазии. Фантазия есть качество величайшей ценности, но у тов. Ларина её маленький избыток.

Маркс не был хорошим математиком. Он все время путался в цифрах и формулах, его трудовая теория стоимости не слишком содержательна, но, в сущности, я интерпретирую Маркса, и Маркс интересен мне как классический экономист.

Математика может быть занимательной, математические фокусы — впечатляющими, отношения, в которые вступают между собой цифры — причудливыми. Числа  не управляют миром, но показывают, как  управляется мир.

Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств.

В математике нет символов для неясных мыслей.

Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике.

…Вряд ли можно продвинуться в современной атомной физике, не зная греческой философии.

«Небо» — тот духовный мир, который не подвержен никакой физике, мир метафизический, мир иных измерений и иных трансцендентных координат.

Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. «А, такой-то? — вспомнил Гильберт. — Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.»

Машина не виновата в том, что уравнения максвелла не подходят для проектирования электромотора.

Если квантовая теория не потрясла тебя — ты её ещё не понял.

Математика — гимнастика ума!

То, что для одного человека константа, для другого — переменная.

В программировании инварианты эфемерны.

В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.

Лучше быть историческим Дон-Кихотом, чем чистым, математическим дураком.

Не стоит изучать язык, который не меняет вашего представления о программировании.

Реальность бесконечно сложна для нашего познания. Мы должны упрощать.

Математики пренебрегли вызовом и предпочли бежать от природы путём изобретения всевозможных теорий, которые никак не объясняют того, что мы видим или ощущаем.

Физические и химические измерения нужны для практической деятельности только потому, что существует экономический расчет.

Для кубистов картина была плоскостью, заполненной некими формами. Для меня картина это плоскость, покрытая образами вещей, размещённых в определённом логическом порядке.

Мы можем через Божественную призму рассматривать все — научные формулы, любые феномены.

Наука начинается с тех пор, как начинают измерять. Точная наука немыслима без меры.

В математике ум исключительно занят собственными формами познавания — временем и пространством, следовательно, подобен кошке, играющей собственным хвостом.

Обучение детей программированию противоречит современной теории обучения. Разве интересно составлять планы, овладевать дисциплиной в организациии мышления, уделять внимание деталям и учиться быть самокритичным?

В программировании трудно найти правильную единицу времени для измерения прогресса. Некоторые соборы строились веками. Можно ли вообразить грандиозность и размер программы, на которую затратили столько времени?

Профессия криминального адвоката манила жаждой побед и эстетикой процесса познания, холодного и эмоционально отстраненного от познаваемого объекта. Та же игра ума, что и в математике, только вместо цифр — людские судьбы.

Сначала всегда обнаруживают факты, а не теории. Теория складывается среди прочего в ходе дискуссии.

Я вознамерился говорить о Физической, Метафизической, и Математической — о Вещественной и Духовной Вселенной: о ее Сущности, ее Происхождении, ее Сотворении, ее Настоящем Состоянии, и Участи ее.

Мир конечен, так как он составляет сферическое тело, которое конечно по своей сущности и природе.

Цель Fетсн-ехесUте вычислений — эмуляция наших синтетических способностей, а не понимание аналитических.

Разница между формальной логикой и логикой музыкальной заключается в том, что формальная логика представляет собой замкнутую структуру на уровне каждого высказывания, а музыка цельна в своей логичности.

Чисто прикладные языки плохо применимы. (Игра слов аррLIсатIVе иаррLIсавLе).

Нельзя научиться программированию с помощью ручного калькулятора, но можно забыть арифметику.

Я знаю два определения неизмеримости вселенной — художественных, доступных любому воображению: одно принадлежит Паскалю, другое — Эдгару По.

Чтобы понять процесс, нужно иметь теорию. …если вы действительно хотите разбираться в эмпирической науке, то у вас должны быть факты. И проблема в том, как организовать эти факты. Теория, в сущности, и «организует» факты.

Средневековые образы и символы — отличная пища для воображения. Они пытаются описать мироздание так, как будто в нём больше логики и порядка, чем на самом деле. И эта идея западает в голову куда лучше, чем реальный мир.

Единственная конструктивная теория, связывающая неврологию и психологию, возникает из исследований софтвера.

Иногда мне кажется, что единственным универсумом в программировании является цикл.

Знание о том, каков объект, получается путем сравнения.

— Это наука, которой занимаются ради познания вечного бытия, а не того, что возникает и гибнет. — Хорошая оговорка: действительно, геометрия — это познание вечного бытия. — Значит, она влечет душу к истине и воздействует на философскую мысль, стремя ее ввысь, между тем как теперь она у нас низменна вопреки должному. — Да, геометрия очень даже на это воздействует. — Значит, надо по возможности строже предписать, чтобы граждане Прекрасного города ни в коем случае не оставляли геометрию: ведь немаловажно даже побочное ее применение. — Какое? — То, о чем ты говорил, — в военном деле да, впрочем, и во всех науках — для лучшего их усвоения: мы ведь знаем, какая бесконечная разница существует между человеком причастным к геометрии и непричастным. — Бесконечная, клянусь Зевсом! — Так примем это как второй предмет изучения для наших юношей? — Примем. — «Государство», VII, 527b-d

1324
Ссылка на цитату
7 минут на осмысление

Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии. — «Отрывки из писем, мысли и замечания» (1828)

1068
Ссылка на цитату
7 минут на осмысление

Что мы с вами скажем на это?.. Не должны ли мы признать, что геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать? Не прав ли был Платон, требуя от своих учеников прежде всего основательного знакомства с математикой?

929
Ссылка на цитату
7 минут на осмысление

Надо признаться, что попытка трактовать естественные проблемы без геометрии есть попытка сделать невозможное.

434
Ссылка на цитату
3 минуты на осмысление

Геометрия за то и прославляется, что заимствовав извне столь мало основных положений, она столь многого достигает.

434
Ссылка на цитату
3 минуты на осмысление

…Вернемся к началу прошлого столетия. Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Всё вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале 21-го столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг — всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, микросхемы и даже рекламные ролики. Воистину, современная цивилизация — это Цивилизация Геометрии. Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых… Для нормального развития ребёнку необходимо полноценное питание. Для нормального интеллектуального развития необходима разнообразная интеллектуальная пища. Сегодня математика, особенно геометрия, является одним из немногих экологически чистых и полноценных продуктов, потребляемых в системе образования. Геометрия может и должна стать предметом, с помощью которого мы можем сбалансировать работу головного мозга, улучшить функциональное взаимодействие между полушариями. Геометрия — витамин для мозга.

392
Ссылка на цитату
7 минут на осмысление

Всё, что превышает геометрию

351
Ссылка на цитату
2 минуты на осмысление

Те длинные цепи выводов, сплошь простых и легких, которыми обычно пользуются геометры, чтобы дойти до своих наиболее трудных доказательств, дали мне повод представить себе, что и все вещи, которые могут стать предметом знания людей, находятся между собой в такой же последовательности.

286
Ссылка на цитату
7 минут на осмысление

Нет царского пути в геометрии. — Ответ египетскому царю Птолемею I, который просил указать ему более легкий путь изучения геометрии. Высказывание приведено в «Математической коллекции» Паппа Александрийского (рубеж III—IV вв.) и «Комментарии к Эвклиду» Прокла Диадоха (середина V в.).

285
Ссылка на цитату
7 минут на осмысление

Геометрия же прино­сит большую пользу архитектуре, и прежде всего она учит упо­треблению циркуля и линейки, что чрезвычайно облегчает составле­ние планов зданий и правильное применение наугольников, уровней и отвесов.

285
Ссылка на цитату
7 минут на осмысление

Понятие «истинный» неприложимо к высказываниям чистой геометрии, потому что словом «истинный» мы в конечном счете постоянно характеризуем согласование с «реальным» предметом, но геометрия не занимается отношением своих понятий к предметам опыта, она имеет дело только с логической связью этих понятий между собой.

269
Ссылка на цитату
7 минут на осмысление

, Мы можем утверждать, следовательно, что математическая геометрия — это не наука о пространстве, поскольку под пространством мы понимаем наглядную структуру, которая может быть заполнена предметами, — а чистая теория многообразий. Наглядность в ней играет ту же роль, что и в арифметике или анализе. Подобно последним, геометрия может быть сведена к фундаментальным логическим понятиям, таким, как соотношения, классы и т. д., составляющим реальное содержание геометрических высказываний. Все геометрические аксиомы могут быть сформулированы как математические законы при помощи формул,. Визуальные элементы пространства не являются необходимым дополнением. Поэтому в математической геометрии вопрос об истинности той или иной аксиомы даже не возникает. Аксиомы представляют собой произвольно составленные отношения, содержание которых может быть выражено некоторым сочетанием одних только логических понятий.

250
Ссылка на цитату
7 минут на осмысление

Геометрия есть наука, определяющая свойства пространства синтетически и тем не менее a priori

244
Ссылка на цитату
3 минуты на осмысление

Влияние геометрии на философию и научный метод было глубоким. Геометрия в таком виде, в каком она установилась у греков, отправляется от аксиом, которые являются самоочевидными (или полагаются таковыми), и через дедуктивные рассуждения приходит к теоремам, которые весьма далеки от самоочевидности. При этом утверждают, что аксиомы и теоремы являются истинными применительно к действительному пространству, которое является чем-то данным в опыте. Поэтому кажется возможным, используя дедукцию, совершать открытия, относящиеся к действительному миру, исходя из того, что является самоочевидным. Подобная точка зрения оказала влияние как на Платона и Канта, так и на многих других философов, стоявших между ними. Когда Декларация независимости говорит: «Мы утверждаем, что эти истины самоочевидны», — она следует образцу Евклида. Распространенная в XVIII веке, доктрина о естественных правах человека является поиском евклидовых аксиом в области политики. Форма ньютоновского произведения «Начала», несмотря на его общепризнанный эмпирический материал, целиком определяется влиянием Евклида. Теология в своих наиболее точных схоластических формах обязана своим стилем тому же источнику. Личная религия ведет свое начало от экстаза, теология — из математики… — История западной философии. Кн. первая, гл. III.

239
Ссылка на цитату
7 минут на осмысление

Геометрия едина и вечна, она блистает в Божьем духе. Наша причастность к ней служит одним из оснований, по которым человек должен быть образом Божьим. Но в геометрии имеются пять евклидовых тел, совершеннейший род фигур после сферы. По их образцу и прообразу устроена наша планетная система. — «Разговор с Звездным вестником» (1610)

235
Ссылка на цитату
7 минут на осмысление

206
Ссылка на цитату
2 минуты на осмысление

…Без [науки измерения

199
Ссылка на цитату
2 минуты на осмысление

— Это-то я очень хорошо знаю. — Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена но на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором. — Ты прав. — Вот об этом виде умопостигаемого я тогда и говорил: душа в своем стремлении к нему бывает вынуждена пользоваться предпосылками и потому не восходит к его началу, так как она не в состоянии выйти за пределы предполагаемого и пользуется лишь образными подобиями, выраженными в низших вещах, особенно в тех, в которых она находит и почитает более отчетливое их выражение. — Я понимаю: ты говоришь о том, что́ изучают при помощи геометрии и родственных ей приемов.

179
Ссылка на цитату
7 минут на осмысление

Геометрия есть знание величин, фигур и их границ, а также отношений между ними и производимых над ними операций, разнообразных положений и движений, она начинает с неделимой точки, завершает объемными фигурами и исследованием многообразных различий между ними, и уже после этого от более сложного возвращается к более простому и к началам более сложного. А именно, она пользуется синтезом и анализом, всякий раз начиная с предпосылок, начала беря от более высокого знания и используя все диалектические методы: когда речь идет о началах, она использует отделение видов от родов и определения, когда о том, что следует за началами, — доказательством и анализом, чтобы показать переход от более простого к более сложному и опять возвращение к более простому, отдельно производя рациональные построения относительно того, что ей подлежит, отдельно — относительно аксиом, от которых она переходит к доказательствам, и относительно постулатов, и отдельно — относительно существенных свойств, показывая, что и они связаны с предметом ее рассмотрения. — Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. Ч. II. Гл. 5.

169
Ссылка на цитату
7 минут на осмысление

Темы цитат по буквам

Материал из Викицитатника

Циркуль и линейка

Геоме́трия (от др.-греч. γεωμετρία «землемерие»; γῆ — земля и μετρέω — «измеряю») — раздел математики, изучающий пространственные отношения, формы и их обобщения.
Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался от аксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.

Цитаты[править]

  •  

Негеометр да не войдёт (Распространённый вариант: «Пусть не входит никто, не знающий геометрии»). —

 

ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω (Ageometretos medeis eisito)

  •  
Задача об удвоении квадрата (Платон «Менон», 82b-85b)

— …Те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно. Исходя из этих положений, они разбирают уже все остальное и последовательно доводят до конца то, что было предметом их рассмотрения.

— Это-то я очень хорошо знаю.
— Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена но на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором.
— Ты прав.
— Вот об этом виде умопостигаемого я тогда и говорил: душа в своем стремлении к нему бывает вынуждена пользоваться предпосылками и потому не восходит к его началу, так как она не в состоянии выйти за пределы предполагаемого и пользуется лишь образными подобиями, выраженными в низших вещах, особенно в тех, в которых она находит и почитает более отчетливое их выражение.
— Я понимаю: ты говоришь о том, что́ изучают при помощи геометрии и родственных ей приемов.[1]

  •  

— Это наука, которой занимаются ради познания вечного бытия, а не того, что возникает и гибнет.
— Хорошая оговорка: действительно, геометрия — это познание вечного бытия.
— Значит, она влечет душу к истине и воздействует на философскую мысль, стремя ее ввысь, между тем как теперь она у нас низменна вопреки должному.
— Да, геометрия очень даже на это воздействует.
— Значит, надо по возможности строже предписать, чтобы граждане Прекрасного города ни в коем случае не оставляли геометрию: ведь немаловажно даже побочное ее применение.
— Какое?
— То, о чем ты говорил, — в военном деле да, впрочем, и во всех науках — для лучшего их усвоения: мы ведь знаем, какая бесконечная разница существует между человеком причастным к геометрии и непричастным.
— Бесконечная, клянусь Зевсом!
— Так примем это как второй предмет изучения для наших юношей?
— Примем. —

  — Платон
  •  

Нет царского пути в геометрии. —

  — Евклид
  •  

Геометрия же прино­сит большую пользу архитектуре, и прежде всего она учит упо­треблению циркуля и линейки, что чрезвычайно облегчает составле­ние планов зданий и правильное применение наугольников, уровней и отвесов.[2]

  — Витрувий
  •  

Геометрия есть знание величин, фигур и их границ, а также отношений между ними и производимых над ними операций, разнообразных положений и движений; она начинает с неделимой точки, завершает объемными фигурами и исследованием многообразных различий между ними, и уже после этого от более сложного возвращается к более простому и к началам более сложного. А именно, она пользуется синтезом и анализом, всякий раз начиная с предпосылок, начала беря от более высокого знания и используя все диалектические методы: когда речь идет о началах, она использует отделение видов от родов и определения; когда о том, что следует за началами, — доказательством и анализом, чтобы показать переход от более простого к более сложному и опять возвращение к более простому, отдельно производя рациональные построения относительно того, что ей подлежит, отдельно — относительно аксиом, от которых она переходит к доказательствам, и относительно постулатов; и отдельно — относительно существенных свойств, показывая, что и они связаны с предметом ее рассмотрения. —

  — Прокл
  •  

…Без [науки измерения[3]] невозможно сделаться настоящим мастером… Но так как она является истинной основой всякой живописи, я решил изложить её начала и основания для всех жаждущих знаний юношей, дабы они, овладев искусством измерения с помощью циркуля и линейки, могли бы благодаря этому познать и увидеть своими глазами истину и чтобы они не только жаждали знаний, но также могли достигнуть настоящего и более полного понимания.[4]

  — Альбрехт Дюрер

Платоновы тела
  •  

Геометрия едина и вечна, она блистает в Божьем духе. Наша причастность к ней служит одним из оснований, по которым человек должен быть образом Божьим. Но в геометрии имеются пять евклидовых тел, совершеннейший род фигур после сферы. По их образцу и прообразу устроена наша планетная система. —

  — Иоганн Кеплер
  •  

Надо признаться, что попытка трактовать естественные проблемы без геометрии есть попытка сделать невозможное.[5]

  — Галилео Галилей
  •  

Что мы с вами скажем на это?.. Не должны ли мы признать, что геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать? Не прав ли был Платон, требуя от своих учеников прежде всего основательного знакомства с математикой?[6]

  — Галилео Галилей
  •  

Те длинные цепи выводов, сплошь простых и легких, которыми обычно пользуются геометры, чтобы дойти до своих наиболее трудных доказательств, дали мне повод представить себе, что и все вещи, которые могут стать предметом знания людей, находятся между собой в такой же последовательности.[7]

  — Рене Декарт
  •  

Всё, что превышает геометрию[8], превышает нас.[9]

 

Ce qui passe la géométrie nous surpasse

  — Блез Паскаль
  •  

Геометрия за то и прославляется, что заимствовав извне столь мало основных положений, она столь многого достигает.[10]

 

Ac gloriatur Geometria quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa præstet.

  — Исаак Ньютон
  •  

Геометрия есть наука, определяющая свойства пространства синтетически и тем не менее a priori[11]. Каким же должно быть представление о пространстве, чтобы такое знание о нем было возможно? Оно должно быть первоначально созерцанием, так как из одного только понятия нельзя вывести положения, выходящие за его пределы, между тем мы встречаем это в геометрии <…>. Но это созерцание должно находиться в нас a priori, т. е. до всякого восприятия предмета, следовательно, оно должно быть чистым, не эмпирическим созерцанием. В самом деле, все геометрические положения имеют аподиктический характер, т. е. связаны с сознанием их необходимости, например положение, что пространство имеет только три измерения; но такие положения не могут быть эмпирическими, или суждениями, исходящими из опыта, а также не могут быть выведены из подобных суждений <…>.
Каким же образом может быть присуще нашей душе внешнее созерцание, которое предшествует самим объектам и в котором понятие их может быть определено a priori? Очевидно, это возможно лишь в том случае, если оно находится только в субъекте как формальное его свойство подвергаться воздействию объектов и таким образом получать непосредственное представленые о них, т. е. созерцание, следовательно, лишь как форма внешнего чувства вообще.
Итак, лишь наше объяснение делает понятной возможность геометрии как априорного синтетического знания.[12]

  — Иммануил Кант
  •  

Понятие «истинный» неприложимо к высказываниям чистой геометрии, потому что словом «истинный» мы в конечном счете постоянно характеризуем согласование с «реальным» предметом; но геометрия не занимается отношением своих понятий к предметам опыта, она имеет дело только с логической связью этих понятий между собой.[13]

  — Альберт Эйнштейн
  •  
«…Согласно Эйнштейну, физическое пространство является неевклидовым» (Г. Рейхенбах).

Здравый рассудок убежден, что реальное пространство, пространство, в котором мы живем и передвигаемся, соответствует аксиомам Евклида, что по отношению к этому пространству а является истинным, тогда как не-а ложным. Дискуссия на эти темы уводит далеко за пределы математики, так как вопрос о свойствах физического мира есть вопрос физический, а не математический. Это различие, констатированное в результате открытия неевклидовой геометрии, имеет фундаментальное значение. Проблема пространства разделяется на две части: наряду с проблемой математического пространства было признано существование проблемы физического пространства.

<…>
Мы можем утверждать, следовательно, что математическая геометрия — это не наука о пространстве, поскольку под пространством мы понимаем наглядную структуру, которая может быть заполнена предметами, — а чистая теория многообразий. Наглядность в ней играет ту же роль, что и в арифметике или анализе. Подобно последним, геометрия может быть сведена к фундаментальным логическим понятиям, таким, как соотношения, классы и т. д., составляющим реальное содержание геометрических высказываний. Все геометрические аксиомы могут быть сформулированы как математические законы при помощи формул <…>. Визуальные элементы пространства не являются необходимым дополнением. Поэтому в математической геометрии вопрос об истинности той или иной аксиомы даже не возникает. Аксиомы представляют собой произвольно составленные отношения, содержание которых может быть выражено некоторым сочетанием одних только логических понятий.[14]

  — Ганс Рейхенбах
  •  

Влияние геометрии на философию и научный метод было глубоким. Геометрия в таком виде, в каком она установилась у греков, отправляется от аксиом, которые являются самоочевидными (или полагаются таковыми), и через дедуктивные рассуждения приходит к теоремам, которые весьма далеки от самоочевидности. При этом утверждают, что аксиомы и теоремы являются истинными применительно к действительному пространству, которое является чем-то данным в опыте. Поэтому кажется возможным, используя дедукцию, совершать открытия, относящиеся к действительному миру, исходя из того, что является самоочевидным. Подобная точка зрения оказала влияние как на Платона и Канта, так и на многих других философов, стоявших между ними. Когда Декларация независимости говорит: «Мы утверждаем, что эти истины самоочевидны», — она следует образцу Евклида. Распространенная в XVIII веке, доктрина о естественных правах человека является поиском евклидовых аксиом в области политики.
Форма ньютоновского произведения «Начала», несмотря на его общепризнанный эмпирический материал, целиком определяется влиянием Евклида. Теология в своих наиболее точных схоластических формах обязана своим стилем тому же источнику. Личная религия ведет свое начало от экстаза, теология — из математики… —

  — Бертран Рассел

Прямоугольный треугольник и открытие иррационального числа
  •  

[Историческую гипотезу] можно сформулировать в таком виде: (1) Открытие иррациональности квадратного корня из двух, которое привело к краху пифагорейской программы сведения геометрии и космологии (и, по-видимому, всего знания) к арифметике, вызвало кризис греческой математики. (2) «Начала» Евклида представляют собой не учебник геометрии, а скорее последнюю попытку платоновской школы преодолеть этот кризис путем перестройки всей математики и космологии на фундаменте геометрии (что означало инверсию пифагорейской программы арифметизации) для того, чтобы иметь дело с проблемой несоизмеримости на систематической основе, а не ad hoc. (3) Именно Платоном была впервые задумана программа, впоследствии реализованная Евклидом: Платон первым осознал необходимость перестройки и, выбрав геометрию в качестве нового фундамента и метод геометрических пропорций в качестве нового метода, выдвинул программу геометризации математики, включая арифметику, астрономию и космологию; именно его идеи легли в основу геометрической картины мира, а, следовательно, и современной науки — науки Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона.[15]

  — Карл Поппер
  •  

Итак, мыслимы различные геометрии, и им соответствуют различные числовые системы. Но тогда естественно спросить, которая же из геометрий, и, в частности, которое же из представлений о геометрической прямой, описывает реальное физическое пространство и, в частности, реальную физическую прямую. Здесь надо отчётливо понимать, что геометрическое описание физической реальности возможно только с известной степенью приблизительности. Так, планету Земля можно описать как шар, как эллипсоид и как геоид: и первое, и второе, и даже третье описания приблизительны, хотя точность их возрастает (но не надо думать, что чем точность выше, тем описание лучше: подлинную революцию произвело именно представление о Земле как о шаре и, скорее всего, это представление навсегда останется «самым главным»). При не слишком больших и не слишком малых (по сравнению с размером человека) пространственных размерах физическое пространство с достаточной точностью описывается обычной геометрией Евклида. При значительном увеличении или, напротив, уменьшении размеров эта точность начинает расшатываться. О том, как устроено физическое пространство в очень большом и в очень малом, мы знаем ещё недостаточно.[16]

  — Владимир Успенский, «Нестандартный анализ», 2002
  •  

…Вернемся к началу прошлого столетия. Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Всё вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале 21-го столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг — всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, микросхемы и даже рекламные ролики. Воистину, современная цивилизация — это Цивилизация Геометрии. Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых…
Для нормального развития ребёнку необходимо полноценное питание. Для нормального интеллектуального развития необходима разнообразная интеллектуальная пища. Сегодня математика, особенно геометрия, является одним из немногих экологически чистых и полноценных продуктов, потребляемых в системе образования. Геометрия может и должна стать предметом, с помощью которого мы можем сбалансировать работу головного мозга, улучшить функциональное взаимодействие между полушариями. Геометрия — витамин для мозга.[17]

  — Игорь Шарыгин
  •  

Понимание того, в чём состоят задачи на построение, и в частности древняя задача о квадратуре круга, входит, на наш взгляд, в общекультурный минимум. Чтобы дать возможность читателю согласиться или не согласиться с этим тезисом, напомним необходимые сведения. Геометрия требует чертежа, и античные математики делали такие чертежи. Самым удобным и дешёвым способом было чертить на песке. Архимед, величайший учёный древности (да и не только древности!), был убит римским солдатом в 212 году до н. э., во время Второй пунической войны, на Сицилии, в своих родных Сиракузах. По преданию, солдат застал его на песчаном пляже и, взбешённый его словами «Не трогай мои чертежи!», зарубил мечом.[18]

  — Владимир Успенский, «Апология математики, или О математике как части духовной культуры», 2007

В поэзии[править]

  •  

Тише! Сидели мы, кажется, здесь,
Над рощей стояло безветрие,
Легчайшим пунктиром дрожала в воде
Кустов и луны геометрия.[19]

  — Леонид Лавров, «Радость», 1928

Примечания[править]

  1. Платон. Сочинения в четырех томах. Т. 3. Ч. 1. СПб., 2007. С. 346-347.
  2. Витрувий Марк Поллион. Десять книг об архитектуре. М,, 1936. С. 17.
  3. В тексте Kunst der Messung — наука измерения, под которой Дюрер
    понимает геометрию.
  4. Дюрер А. Дневники. Письма. Трактаты. Т. 2. М., 1957. С. 43.
  5. Галилео Галилей. Избранные произведения в двух томах. М.: Наука, 1964. Т. 1. С. 302.
  6. Галилео Галилей. Избранные произведения в двух томах. М.: Наука, 1964. Т. 2. С. 221.
  7. Декарт Р. Рассуждение о методе с приложениями. Диоптрика. Метеоры. Геометрия. М.: АН СССР, 1953. С. 23.
  8. Словом «геометрия» Паскаль называет всю вообще математику, а «геометрическим умом» — все мыслительные операции, характерные для математики.
  9. Вопросы философии. 1994. №6.
  10. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М.: Наука, 1989. С. 2.
  11. a priori (лат. «от предшествующего») — знание, полученное до опыта и независимо от него.
  12. Кант И. Критика чистого разума. М.: Мысль, 1994. С. 52.
  13. А. Эйнштейн. О специальной и общей теории относительности (общедоступное изложение). М.: Государственное издательство, 1922. С. 8.
  14. Рейхенбах Г. Философия пространства и времени. М.: Прогресс, 1985. С. 23, 121.
  15. Поппер К. Р. Открытое общество и его враги. Т. 1. М.: Феникс, 1992. С. 395.
  16. Успенский В.А. «Труды по нематематике». — М., ОГИ, 2002 г.
  17. Математическое просвещение. 2004. №8. С. 37, 52.
  18. Успенский В.А. «Апология математики, или О математике как части духовной культуры». — М.: журнал «Новый Мир», № 11-12, 2007 г.
  19. Л. Лавров. «Из трёх книг». М.: Советский писатель, 1966 г.
  20. Н. М. Олейников, Стихотворения и поэмы. Новая библиотека поэта. — СПб.: Академический проект, 2000 г.

Ссылки[править]

365 лучших цитат и высказываний о геометрии

Исследуйте популярные о геометрии .

Последнее обновление: 14 марта 2024 г.

Где материя, там и геометрия.

У меня была аллергия на школу. Я совсем запутался в школе. Я так старался, но у меня не получилось. Я изучал геометрию четыре года, один и тот же курс снова и снова, и я не закончил его со своим выпускным классом. Я, наконец, сдал геометрию после летней школы и, в конце концов, закончил ее.

Бассейн на берегу океана — это простейшая геометрия, но вы чувствуете связь с морем. В лесу на фоне гор вы тоже чувствуете связь с природой, но это очень сложная геометрия. Я думаю, что архитектура — это контроль над этими чувствами.

Одним из лучших моментов в моей жизни было то, что я внезапно осознал, что в моем позднем подростковом возрасте я мечтал соединить чистую математику, очень чистую математику с очень сложными вещами, которые долгое время мешали ученым и инженерам, что это сочетание было возможно, и я собрал эту новую геометрию природы, фрактальную геометрию природы.

Алгебра — это всего лишь письменная геометрия, а геометрия — это фигурная алгебра. — © Софи Жермен

Алгебра — это всего лишь письменная геометрия, а геометрия — это фигурная алгебра.

Таким образом, метрическая геометрия является частью начертательной геометрии, а начертательная геометрия — это вся геометрия.

Алгебра — это не что иное, как геометрия на словах; геометрия не более чем алгебра в картинках.

Я все более и более прихожу к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере, ни человеческим интеллектом, ни для него. . . Геометрию следует ранжировать не с арифметикой, которая чисто априорна, а с механикой.

Геометрия существовала до сотворения.

Поэзия — предмет такой же точный, как геометрия.

О Томасе Гоббсе: Ему было 40 лет, когда он начал заниматься геометрией; что произошло случайно. Находясь в библиотеке джентльмена, «Элементы» Евклида лежали открытыми, и «это была 47 El. libri I» [Теорема Пифагора]. Он читал предложение «Ей-богу», сказал он, «это невозможно». Итак, он читает доказательство этого, которое отсылало его обратно к такому предложению; какое предложение он прочитал. Это отсылало его к другому, который он тоже читал. Et sic deinceps, что он, наконец, демонстративно убедился в этой истине. Это заставило его полюбить геометрию.

Дроби, десятичные дроби, алгебра, геометрия, тригонометрия, исчисление, механика — вот ступеньки вверх по склону горы. Как высоко можно забраться? Для меня вершиной была проективная геометрия. Кто сегодня вообще слышал об этой области математики?

Геометрия — основа всей живописи.

Геометрия — одно из рукоятей науки и философии.

Пусть никто, лишенный геометрии, не входит в мои двери. — © Платон

Пусть никто, лишенный геометрии, не входит в мои двери.

Проективная геометрия — это вся геометрия.

Музыка — это геометрия во времени.

Геометрия есть знание вечно существующего.

Именно через геометрию очищают око души.

. . . путем естественного отбора наш разум приспособился к условиям внешнего мира. Он принял геометрию, наиболее выгодную для вида или, другими словами, наиболее удобную. Геометрия неверна, она выгодна.

Открытие Кеплера было бы невозможно без учения о кониках. Теперь современники Кеплера — такие проницательные умы, как Декарт и Паскаль — отказывались от изучения геометрии… потому что они говорили, что она СОВЕРШЕННО БЕСПОЛЕЗНА. Будущее человечества почти дрожало на волоске; ибо, если бы геометрия конических сечений не была уже в значительной степени разработана и если бы они не считали, что следует заниматься только науками, явно полезными, девятнадцатый век не имел бы ни одного из тех характеров, которые отличают его от старого режима.

Геометрия была первым захватывающим курсом, который я помню.

Абстракция не должна ограничиваться какой-то прямолинейной геометрией или даже простой геометрией кривой. У него могла быть геометрия, которая имела повествовательное воздействие. Другими словами, вы можете рассказать историю с фигурами. Это не будет буквальная история, но формы и взаимодействие форм и цветов придадут вам смысл повествования. У вас может быть ощущение, что абстрактный фрагмент течет и является частью действия или деятельности. Меня это завело.

Геометрия просвещает интеллект и приводит в порядок мысли. Все его доказательства очень ясны и упорядочены. Едва ли возможно, чтобы в геометрических рассуждениях появились ошибки, потому что они хорошо устроены и упорядочены. Таким образом, ум, который постоянно занимается геометрией, вряд ли впадет в ошибку. Таким удобным способом человек, знающий геометрию, приобретает разум.

Описание прямых линий и окружностей, на которых основана геометрия, принадлежит механике. Геометрия не учит нас проводить эти линии, а требует, чтобы они были проведены.

Аналитической геометрии никогда не существовало. Есть только люди, которые плохо делают линейную геометрию, беря координаты, и они называют это аналитической геометрией. Вон с ними!

Полное влияние метода Лобачевского оспаривания аксиом, вероятно, еще предстоит ощутить. Не будет преувеличением назвать Лобачевского Коперником геометрии [как и Клиффорд], ибо геометрия — лишь часть более обширной области, которую он обновил; возможно, было бы даже справедливо назвать его Коперником всей мысли.

Геометрия существовала до сотворения. Он совечен разуму Бога … Геометрия предоставила Богу модель для Творения.

Геометрия влечет душу к истине.

Предложение геометрии не соперничает с жизнью; и предложение геометрии — прекрасная и светлая параллель для произведения искусства. Оба разумны, оба не соответствуют грубому факту; оба присущи природе, ни один не представляет ее.

Декарт проложил как благородный путь науки от точки, в которой он нашел геометрию, до той точки, до которой он ее довел, как это сделал после него сам Ньютон. … Этот дух геометрии и изобретательности он перенес в оптику, которая при нем стала совершенно новым искусством.

Геометрия неверна, она выгодна.

Регулярная геометрия, геометрия Евклида, имеет дело с гладкими формами, за исключением, быть может, углов и линий, особых линий, являющихся сингулярностями, но некоторые формы в природе настолько сложны, что они столь же сложны в большом масштабе и приближаются друг к другу. ближе, и они не становятся менее сложными.

Пи — это не просто вездесущий фактор в школьных задачах по геометрии; она вышита на всем гобелене математики, а не только в его маленьком уголке геометрии. Пи занимает ключевое место и в тригонометрии. Оно тесно связано с e и с мнимыми числами. Пи даже появляется в математике вероятности

Прекрасный образ — это геометрия, смоделированная сердцем

Я люблю придавать объекту форму; Хотел бы я делать больше этого. Я восхищаюсь исследованиями моих коллег, и иногда мне становится грустно, когда их прекрасные работы — глубокие погружения в формальные исследования, нюансы геометрии и т. д. — заканчиваются тем, что кружатся во все более и более ограниченных контекстах. Я хотел бы, чтобы они были более мощными. Это не современное предложение. Активная форма не убивает форму объекта. Я хочу, чтобы мои ученики обладали всеми навыками, связанными с геометрией, формой, мерой, масштабом и т. д., а также навыками использования пространства для управления силой в мире.

В геометрии нет царской дороги.

Сир, к геометрии нет королевской дороги.

Письмо — это геометрия души. — © Платон

Письмо — это геометрия души.

Геометрия есть правила всякого умственного исследования.

В бильярдной игре ритуал сочетается с геометрией.

Геометрия — благороднейшая ветвь физики.

Чисто формальный язык геометрии адекватно описывает реальность пространства. В этом смысле можно сказать, что геометрия — это успешная магия. Я хотел бы высказать обратное: не является ли всякая магия, в той мере, в какой она успешна, геометрией?

В самом деле, господа, нет геометрии без арифметики, нет механики без геометрии… вы не можете рассчитывать на успех, если ваш ум недостаточно упражняется в формах и доказательствах геометрии, в теориях и вычислениях арифметики… Словом, теория пропорций для промышленного обучения, что алгебра для самого возвышенного математического обучения.

Я задумал, разработал и применил во многих областях новую геометрию природы, которая находит порядок в хаотических формах и процессах. Она росла без названия до 1975 года, когда я придумал новое слово для ее обозначения, фрактальная геометрия, от латинского слова fractus, означающего неправильный и разбитый. Сегодня вы могли бы сказать, что до тех пор, пока не была организована фрактальная геометрия, моя жизнь следовала по фрактальной орбите.

Зачем тратить слова? Геометрия существовала до Творения, совечна разуму Бога, есть сам Бог (что есть в Боге, кроме самого Бога?): геометрия дала Богу модель Творения и была внедрена в человека вместе с Божьим собственное подобие — а не просто переданное его разуму через глаза.

Греческая архитектура — это расцвет геометрии.

Нельзя критиковать геометрию. Это никогда не ошибается.

Одна геометрия не может быть более верной, чем другая; это может быть только удобнее. Геометрия неверна, она выгодна. — © Роберт М. Пирсиг

Одна геометрия не может быть более верной, чем другая; это может быть только удобнее. Геометрия неверна, она выгодна.

Логика была для познания тем же, чем геометрия была для ландшафта.

Гравитация — это реакция на геометрию.

… геометрия стала символом человеческих отношений, за исключением того, что она была лучше, потому что в геометрии никогда не бывает плохо. Если происходят определенные вещи, если встречаются определенные линии, рождается угол. Вы не можете потерпеть неудачу. Это не подведет; это вечно. Я нашел в правилах математики мир и доверие, которых не мог найти в людях. Эта сублимация была тотальной и осталась тотальной. Таким образом, я могу избегать или манипулировать или обрабатывать боль.

В каждой области есть свои табу. В алгебраической геометрии есть табу: (1) написание черновика, которому может следовать любой, кроме двух-трех ближайших друзей, (2) заявление о том, что результат имеет применение, (3) упоминание слова «комбинаторный» и (4) ), утверждая, что алгебраическая геометрия существовала до Гротендика (разрешены только некоторые махающие рукой ссылки на «итальянцев» при условии, что они не подкреплены конкретными ссылками).

Геометрия – это архетип красоты мира.

Понятие конгруэнтности в евклидовой геометрии не совсем то же самое, что в неевклидовой геометрии. …»Конгруэнтный» означает в евклидовой геометрии то же, что и «определяющий параллелизм», значение, которого оно не имеет в неевклидовой геометрии.

Геометрия, как и арифметика, требует для своего логического развития лишь небольшого числа простых, фундаментальных принципов. Эти фундаментальные принципы называются аксиомами геометрии.

Поэзия так же точна, как геометрия.

Лучшее, что дал нам Гаусс, также было эксклюзивным производством. Если бы он не создал свою геометрию поверхностей, послужившую основой Риману, едва ли можно представить, чтобы ее открыл кто-либо другой. Я не колеблясь признаюсь, что до известной степени подобное удовольствие можно получить, погружаясь в вопросы чистой геометрии.

Геометрия — самая полная наука.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Слова которые можно заменить красивыми словами
  • Пословицы и загадки о яблоках
  • Закончи пословицу книга поможет в труде
  • Самые короткие пословицы по русскому языку
  • Цитаты про знак зодиака скорпион